0. Phân phối Student

• Bạn đọc nên xem trước bài MATH_4: Một số phân phối liên tục.

0.1. Định nghĩa:

• Cho $X_1,...X_n$ là các biến ngẫu nhiên độc lập, tuân theo phân bố Gauss $N(\mu,\sigma^2)$ của một tập mẫu có $n$ phần tử, ta có:

  $$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i$$

  và

  $$S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2$$

• Dùng luật số lớn, ta có biến ngẫu nhiên $\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$ tuân theo phân phối Student với $n-1$ bậc tự do.

0.2. Công thức:

• $x\in S_x=(-\infty\,+\infty)$

• $f(x)=\frac{\Gamma(\frac{\nu+1}{2})}{\sqrt{\nu\pi}\Gamma{\frac{\nu}{2}}}(1+\frac{t^2}{\nu})^{-\frac{\nu+1}{2}}$ với $\nu$ là bậc tự do, $\Gamma$ là gamma function.

  hoặc có thể viết: $f(x)=\frac{1}{\sqrt{\nu}\Beta(\frac{1}{2},\frac{\nu}{2})}(1+\frac{t^2}{\nu})^{-\frac{\nu+1}{2}}$ với $\Beta$ là Beta function.

  

• $E[x]=0$, $VAR[x]=\begin{align}\begin{cases}\frac{\nu}{\nu-2}&\text{với $\nu>2$}\\ \infty&\text{với $1<\nu\le 2$}\\ \text{undefine}&\text{otherwise} \end{cases}\end{align}$

1. Ước lượng điểm kỳ vọng và phương sai

• Giả sử $S=\{X_1,X_2,...,X_n\}$ là một mẫu, ta có thể ước lượng như sau:

  • Ước lượng kỳ vọng của quần thể:

    $$\mu\cong \overline{X}=\frac{X_1+X_2+...+X_n}{n}$$

  • Ước lượng phương sai cho quần thể:

    $$\sigma^2\cong s^2=\frac{\sum(X_i-\overline{X})^2}{n-1}$$

2. Khoảng tin cậy

2.1. Khoảng tin cậy cho kỳ vọng với phương sai biết trước:

• Câu hỏi: Ước lượng khoảng tin cậy $\mu$ khi đã biết phương sai $\sigma$. Hay, ta muốn tìm một đoạn $[a,b]$ để $\mu$ thuộc đoạn trên với xác suất $\beta \%$.

• Đoạn $[a,b]$ sẽ có dạng $[\overline{X}-u_{\beta}\sigma_{\overline{X}},\overline{X}+u_{\beta}\sigma_{\overline{X}}]$. Trong đó, $u_{\beta}$ là số lần độ lệch chuẩn; $\sigma^2_{\overline{X}}=\sigma^2/n$ là phương sai của $\overline{X}$.

• $u_{\beta}$ có thể xác định bằng Q-function. Xem về Q-function ở đây.

  

  Bảng giá trị Q-function

  • Vài giá trị thường gặp:

    • $\beta=90\%$ thì $u_{\beta}=1.64$
    • $\beta=95\%$ thì $u_{\beta}=1.96$
    • $\beta=98\%$ thì $u_{\beta}=2.23$
    • $\beta=99\%$ thì $u_{\beta}=2.58$

• Ví dụ: Chiều cao trung bình của $n=36$ sinh viên là $66$ inches. Giả sử độ lệch chuẩn của chiều cao người lớn là $3$ inches. Tính khoảng tin cậy chiều cao trung bình sinh viên với độ tin cậy $95\%$.

  • $\beta=95\%\rightarrow u_{\beta}=1.96$
  • $\sigma=3$, $n=36$ $\rightarrow$ $\sigma^2_{\overline{X}}=\sigma^2/n=3^2/36=0.25$ $\rightarrow$ $\sigma_{\overline{X}}=0.5$
  • Do đó, $[a,b]=[\overline{X}-u_{\beta}\sigma_{\overline{X}},\overline{X}+u_{\beta}\sigma_{\overline{X}}]=[66-1.96\times 0.5,66+1.86\times 0.5]=[65.02,66,98]$
  • Vậy, với mức độ tin cậy $95\%$, chiều cao trung bình $\mu$ nằm giữa $65.02$ và $66.98$.

• Nhận xét: Trên cùng một kích thước mẫu, độ tin cậy càng lớn thì khoảng tin cậy càng rộng.

2.2. Xác định kích thước mẫu:

• Với độ tin cậy $\beta\%$ cho trước, khoảng tin cậy $[a,b]$ phụ thuộc vào kích thước mẫu. Kích thước mẫu càng lớn thì khoảng tin cậy càng hẹp và ngược lại.

• Câu hỏi: Giả sử muốn ước lượng $\mu$ với sai số không quá $\epsilon$ cho trước với độ tin cậy $\beta$ thì cần có tối thiểu bao nhiêu mẫu?

  • Theo dữ kiện trên, ta có: $\epsilon\ge u_{\beta}\sigma_{\overline{X}}$

    $$\Rightarrow \epsilon\ge u_{\beta}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$
    $$\Rightarrow n\ge (\frac{\sigma\mu_{\beta}}{\epsilon})^2$$

• Ví dụ: Tính số sinh viên cần lấy mẫu chiều cao để tính chiều cao trung bình với sai số không quá $5cm$ với độ tin cậy $90\%$. Giả sử độ lệch chuẩn của chiều cao người lớn là $7cm$.

  • $\sigma=7$, $\epsilon=5$, $\beta=90\%$ $\rightarrow$ $u_{\beta}=1.64$
  • Vậy $n=(\frac{7\times1.64}{5})^2\approx 5.27 =6$ người.

2.3. Khoảng tin cậy cho kỳ vọng với phương sai không biết trước:

• Sử dụng ước lượng phương sai mẫu: $\hat{\sigma_n^2}=\frac{1}{n-1}\sum_{j=1}^n(X_j-\overline{X_n})^2$.

• Tính thống kê: $T=\frac{\overline{X_n}-\mu}{\hat{\sigma_n}/\sqrt{n}}$, $T$ tuân theo phân bố Student với $n-1$ bậc tự do.

  

  Bảng phân bố t-student (Cột dọc là số bậc tự do t, thanh ngang là giá trị alpha)

  với alpha là:

  

  • Ví dụ với $t=n-1=1$, $t_{0.1}=3.078$.

• Khoảng tin cậy $(1-\alpha)\times 100\%$: $[\overline{X_n}-t_{\alpha/2}\hat{\sigma_n}/\sqrt{n},\overline{X_n}+t_{\alpha/2}\hat{\sigma_n}/\sqrt{n}]$.

• Note: Phân phối Student chỉ được sử dụng với số lượng mẫu $n\le30$. Trong các trường hợp $n>30$, Q-function được sử dụng.

2.4. Khoảng tin cậy cho tỉ lệ:

• Vấn đề: Nghiên cứu một quần thể mà mỗi cá thể có thể có hoặc không có một thộc tính $A$ nào đó:

  • $p$ là tỉ lệ cá thể có thuộc tính $A$ trong quần thể
  • $f=k/n$ là tỉ lệ cá thể có thuộc tính $A$ trong mẫu nghiên cứu

• Câu hỏi: Ước lượng khoảng tin cậy cho $p$ dựa vào $f$.

• Định lý:

  • $E[f]=p$, $VAR[f]=p(1-p)/n$ với $np>5$ và $n(1-p)>5$.

• Do không biết $p$ nên $VAR[f]\approx f(1-f)/n$ với $nf>10$ và $n(1-f)>10$.

• Khoảng tin cậy cho $p$ với độ tin cậy $\beta$: $f-u_{\beta}\sqrt{f(1-f)/n}\le p\le f+u_{\beta}\sqrt{f(1-f)/n}$.

• Ví dụ: Khi khảo sát về sự ủng hộ Luật An ninh mạng, người ta lấy ý kiến ngẫu nhiên của $100$ người thì có $80$ người ủng hộ. Tìm khoảng tin cậy tỷ lệ người ủng hộ Luật An ninh mạng với độ tin cậy $99\%$.

  • $n=100$, $k=80$, $f=0.8$, $\beta=99\%$ $\rightarrow$ $u_{\beta}=2.58$

  • Kiểm tra điều kiện:

    • $nf=100\times 0.8=80>10$
    • $n(1-f)=100\times 0.2=20>10$

  • Suy ra: $u_{\beta}\sqrt{f(1-f)/n}=2.58\sqrt{0.8\times 0.2/100}=0.1032$

  • Vậy $0.6968\le p\le 0.9032$ với độ tin cậy $99\%$.